martes, 22 de noviembre de 2011


La Ganaderia
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La ganadería es una actividad económica de origen muy antiguo que consiste en la crianza de animales para su aprovechamiento. Dependiendo de la especie ganadera, se obtienen diversos productos derivados, como la carne, la leche, los huevos, los cueros, la lana y la miel, entre otros.[ La ciencia encargada del estudio de la ganadería es la zootecnia.
Los ganados más importantes en número a nivel mundial son los relacionados con la ganadería bovina, la ovina y la porcina. Sin embargo, en algunas regiones del planeta otros tipos de ganado tienen mayor importancia, como el caprino y el equino, como así también la cunicultura, la avicultura y la apicultura.[]
La ganadería esta relacionada con la agricultura, ya que en una granja ambas pueden estar relacionadas. En estos casos el ganado aporta el estiércol, que es utilizado como abono, y los cultivos aportan el alimento para los animales.
Ganado.jpg

martes, 8 de noviembre de 2011

funciones

Función matemática

http://bits.wikimedia.org/skins-1.18/common/images/magnify-clip.png
En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero)        
2 → +4 ,
1 → +1 ,
±0 → ±0
+1 → +1 ,      
+2 → +4 ,
                +3 → +9 ,
               


Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:
               

Estación → E ,0
Museo → M ,   
Arroyo → A
               
Rosa → R ,
               


...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f : X → Y

x → f(x) ,

donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f : Z → N

k → k2 , o sencillamente f(k) = k2 ;

g : V → A

p → Inicial de p ;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

        

Definición

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x\in Xcon un (y sólo un) y\in Yse denota f(x)=y\,, en lugar de (x,y)\in f.

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1.      Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, \forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.

2.     Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si (x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por {\rm dom}(f)\,o {\rm dom}_f\,. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

{\rm codom}(f)\,o codomf

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por {\rm im}(f)\,o {\rm im}_f\,o f(X)\,.

Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}

Una preimagen de un y \in Yes algún x\in Xtal que f(x)=y\,.

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

    La función definida por f(x)=x+1\,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (\mathbb{R}).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Aplicaci%C3%B3n_2.svg/250px-Aplicaci%C3%B3n_2.svg.png

Función con Dominio X y Rango Y

    Para la función g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}tal que g(x)=x^2\,, en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a \mathbb{R}, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞.

    En la figura se puede apreciar una función f \colon X \to Y \,, con

{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,

{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.

Esta función representada como relación, queda: X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

    tienen igual dominio, A=C,
    tienen igual codomino, B=D, y
    tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

    usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

    Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

   X| -2 -1  0  1  2  3

   Y|  0  1  2  3  4  5

    Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

    Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5
               

               

               

               

               

               

X

4
               

               

               

               

               

X
               

3
               

               

               

               

X
               

               

2
               

               

               

X
               

               

               

1
               

               

X
               

               

               

               

0
               

X
               

               

               

               

               

y / x
               

-2
               

-1
               

0
               

1
               

2
               

3

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Conjuntos 01.svg

    Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
    Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
    Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

f(x) = b \quad \text{(*)}.

    la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
    la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
    la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Correspon 1402.svg

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

P = \{ \,
               

Correspon P0.svg,
               

Correspon P2.svg,
               

Correspon P4.svg
               

\} \,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

C = \{ \,
               

Correspon C0.svg,
               

Correspon C2.svg,
               

Correspon C4.svg,
               

Correspon C1.svg
               

\} \,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Función matemática

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/PolygonsFunction.svg/275px-PolygonsFunction.svg.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.18/common/images/magnify-clip.png

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...
               

2 → +4 ,
               

1 → +1 ,
               

±0 → ±0 ,
               


               

+1 → +1 ,
               

+2 → +4 ,
               

+3 → +9 ,
               

...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

... ,
               

Estación → E ,
               

Museo → M ,
               

Arroyo → A ,
               

Rosa → R ,
               

Avión → A,
               

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f : X → Y

x → f(x) ,

donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f : Z → N

k → k2 , o sencillamente f(k) = k2 ;

g : V → A

p → Inicial de p ;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

        

Definición

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x\in Xcon un (y sólo un) y\in Yse denota f(x)=y\,, en lugar de (x,y)\in f.

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1.      Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, \forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.

2.     Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si (x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por {\rm dom}(f)\,o {\rm dom}_f\,. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

{\rm codom}(f)\,o codomf

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por {\rm im}(f)\,o {\rm im}_f\,o f(X)\,.

Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}

Una preimagen de un y \in Yes algún x\in Xtal que f(x)=y\,.

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

    La función definida por f(x)=x+1\,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (\mathbb{R}).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Aplicaci%C3%B3n_2.svg/250px-Aplicaci%C3%B3n_2.svg.png

Función con Dominio X y Rango Y

    Para la función g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}tal que g(x)=x^2\,, en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a \mathbb{R}, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞.

    En la figura se puede apreciar una función f \colon X \to Y \,, con

{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,

{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.

Esta función representada como relación, queda: X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

    tienen igual dominio, A=C,
    tienen igual codomino, B=D, y
    tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

    usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

    Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

   X| -2 -1  0  1  2  3

   Y|  0  1  2  3  4  5

    Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

    Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5
               

               

               

               

               

               

X

4
               

               

               

               

               

X
               

3
               

               

               

               

X
               

               

2
               

               

               

X
               

               

               

1
               

               

X
               

               

               

               

0
               

X
               

               

               

               

               

y / x
               

-2
               

-1
               

0
               

1
               

2
               

3

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Conjuntos 01.svg

    Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
    Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
    Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

f(x) = b \quad \text{(*)}.

    la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
    la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
    la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Correspon 1402.svg

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

P = \{ \,
               

Correspon P0.svg,
               

Correspon P2.svg,
               

Correspon P4.svg
               

\} \,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

C = \{ \,
               

Correspon C0.svg,
               

Correspon C2.svg,
               

Correspon C4.svg,
               

Correspon C1.svg
               

\} \,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente: